1. Wprowadzenie

Wyznaczenie wycinkowego momentu bezwładności jest konieczne przy obliczaniu nośności przekrojów cienkościennych. Celem opracowania jest przedstawienie metody obliczania wycinkowego momentu bezwładności dla przekrojów cienkościennych otwartych.

Założenia

Przekrój cienkościenny składa się wyłącznie z odcinków linii i fragmentów otwartych krzywych. Przekrój jest opisywany za pomocą linii środkowej. Linia środkowa nie ogranicza powierzchni.

a)1 b)2

Rys. 1. Przekrój otwarty cienkościenny

Rozkład naprężeń tnących w przekroju otwartym i zamkniętym jest inny, co przedstawia rys. 2.

a)3 b)4

Rys. 2. Rozkład naprężeń tnących: a) przekrój zamknięty, b) przekrój otwarty

Dla płaskiej figury przybliżonej wielokątem.

a)5 b)6

Rys. 3. Płaski przekrój przybliżony wielokątem: a) pełny, b) z wycięciem

Pole powierzchni wynosi:

1

Momenty statyczne wynoszą:

2

3

Wtedy współrzędne środka ciężkości S można obliczyć z zależności:

4

7

Rys. 4. Fragment przekroju z przyporządkowanym układem współrzędnych

Momenty bezwładności dla odcinka o stałej szerokości h wynoszą:

5_6_7

Współrzędna wycinkowa:

8

8

Rys. 5. Współrzędna wycinkowa ω

Dobór układu współrzędnych XOY|S : osie x i y układu współrzędnych przechodzą przez główne środkowe {centralne?} osie bezwładności przekroju. Początek układu współrzędnych zaczepiono w punkcie S(0,0) . Położenie bieguna głównego (środka ścinania) A wyznacza się z następujących zależności:

9

gdzie:

Wycinkowy moment statyczny części przekroju zależny od współrzędnej s:

Iy, Iz - główne środkowe momenty bezwładności przekroju;

yB, zB - współrzędne dowolnie wybranego bieguna B wyrażone względem układu XOY|S ;

ωB - współrzędna wycinkowa związana z biegunem B

dA = h ds ‑ dla stałej szerokości przekroju.

dA = hR dφ

 

Wycinkowy moment statyczny części przekroju zależny od współrzędnej s:

10

Wycinkowy moment bezwładności:

11

2. Przykłady obliczeniowe

Przykład 2.1

Dany jest przekrój w kształcie rozciętego pierścienia o promieniu R , grubość pierścienia jest stała i wynosi h. Sposób obliczania wycinkowych momentów bezwładności.

Rozwiązanie.

W punkcie o współrzędnych (0,0) przyjęto pomocniczy biegun S. Całkowanie rozpoczyna się od punktu początkowego 1. Dla dowolnego konturu 1-1' określono pomocniczą współrzędną wycinkową:

12

przy czym 0≤φ≤2π.

Współrzędne punktu 1' wynoszą:

13

Moment bezwładności przekroju względem osi symetrii przekroju:

14

9

Rys. 6. Pierścień i model obliczeniowy

Współrzędna bieguna głównego ZA=0, z uwagi na symetrię przekroju. Natomiast współrzędna bieguna głównego yA (środka ścinania) wynosi:

15

10

Rys. 7. Wyznaczenie bieguna i współrzędnej wycinkowej

Definiujemy główną współrzędną wycinkową:

16

przy czym:

omega1 ‑ wartość współrzędnej wycinkowej nieznana w punkcie 1,

omegawspółrzędna wycinkowa. Podwojone pole zakreślone przez wektor od bieguna A do krzywej.

 

Ostatecznie:

19

Wyznaczamy wartość początkową z warunku:

20

Czyli:

21

Po uproszczeniach:

22

Wartość głównej współrzędnej wycinkowej:

23

Miejsca zerowe:

24

Statyczny moment wycinkowy części przekroju:

25_26_27

Wycinkowy moment bezwładności przekroju:

28_29

Funkcja pierwotna:

30_31

Wartość momentu wycinkowego wynosi:

32

Przykład 2.2

Dany jest ceownik, grubość półek h1, grubość środnika h2=1,5 h1 . Wymiary jak na rysunku (b , H=2b ). Wyznaczyć współrzędną ω wycinkową i momenty wycinkowe: Sω (s), Iω.

11

Rys. 8. Ceownik i kontur zastępczy

Wyznaczenie środka ciężkości

Wprowadzamy układ współrzędnych ηζ w celu wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości S .

33_34

Wprowadzamy układ współrzędnych Y0Z zaczepiony w środku ciężkości S. Jego osie są jednocześnie głównymi centralnymi osiami przekroju.

12

Rys. 9. Kontur oraz wykresy: współrzędnej y , pomocniczej współrzędnej wycinkowej ωB,
głównej współrzędnej wycinkowej ωA.

Wyznaczenie powierzchniowych momentów bezwładności:

35_36

Współrzędne środka ścinania:

37_38

Przy czym całkę we wzorze (38) obliczono w sposób graficzny (metodą Wereszczagina):

39

Wyznaczenie głównej współrzędnej wycinkowej (względem bieguna A ). Współrzędna ta ma przebieg liniowy. Ze względu na symetrię konturu ωA,1=0 . Dla punktów 1, 2 i 3 przyjmie ona wartości:

40_41_42

Sposób wyznaczenia wartości współrzędnych wycinkowych przedstawia rys. 10.

13

Rys. 10. Współrzędne wycinkowe dla punktów 2 i 3

Dla obliczenia wycinkowych momentów statycznych wprowadzono dodatkowe współrzędne liniowe s1 i s2 :

42_a

Wtedy:

43_44

Statyczny moment wycinkowy części przekroju:

44_a

Wycinkowy moment bezwładności przekroju wyznaczono metodą graficzną:

44_b

Po przekształceniach:

45

Przykład 2.3

Wysokość H=100mm, długość półki b=60mm, szerokość h=10mm. Wyznaczyć współrzędną ω wycinkową i momenty wycinkowe: Sω (s), Iω.

Dla przekroju dobrano kontur zastępczy S. Środek ciężkości znajduje się w połowie środnika. Zaczepiono w nim układ współrzędnych ηζ .

14

Rys. 11. Przekrój i jego kontur

Momenty bezwładności konturu wynoszą:

46_47_48_49_50

Momenty bezwładności przekroju wynoszą:

51_52_53_54_55

15

Rys. 12. Przekrój po obrocie i wykres współrzędnej y

Przykład 2.4

Dwuteownik 127x76 wraz z wymiarami przedstawiono na rys. 13. Wymiaru konturu zastępczego wynoszą: wysokość środnika H=119,4mm, grubość półki h2=4,2 mm, długość półki b=76,2 mm, grubość półki h1=7,6mm . Wyznaczyć współrzędną ω wycinkową i momenty wycinkowe: Sω (s), Iω.

Środek ciężkości S znajduje się w połowie środnika. Zaczepiono w nim układ współrzędnych ηζ .

16

Rys. 13. Dwuteownik 127x76 i jego kontur obliczeniowy

Osie te stanowią jednocześnie główne i centralne osie bezwładności konturu. Ze względu na symetrię przekroju:

- środek ciężkości S jest jednocześnie biegunem głównej współrzędnej wycinkowej A,

- wartość głównej współrzędnej wycinkowej dla bieguna wynosi ωA =0.

Można obliczyć wartość wycinkowego momentu bezwładności dla teownika stosując metodę Wereszczagina:

56

17

Rys. 14. Wykresy współrzędnej y i współrzędnej wycinkowej ωB

Po podstawieniu danych liczbowych:

57

18

Rys. 15. Dwuteownik 152x89 i jego kontur obliczeniowy

Natomiast dla dwuteownika 152x89, wymiary konturu wynoszą H=144,7 mm , h2=4,6mm , b=88,9 , h1=7,7mm .

58

ZWCAD 2025 - ceniona alternatywa CAD
ZWCAD to znakomita alternatywa dla znanego programu CAD. Obsługuje zarówno pliki DWG jak i DXF również w najnowszym formacie. Dostępna jest licencja komercyjna bezterminowa z dobrowolnymi aktualizacjami. Już teraz możesz pobrać program i pracować. 30 dni testów z pełną funkcjonalnością, a później program CAD zamieni się w szybką przeglądarkę plików z możliwością tworzenia rysunków do 1000 obiektów.  

Kupuję program Kupuję aktualizacje 

 Pobierz ZWCAD 2025 PL  Pobierz ZWCAD 2025 EN